עובדיה משולם נולד בתימן בשנת 1927. בשנת 1934 עלה לארץ.
הוא גר עם משפחתו בשכונת "שיבת-ציון" שברחוב סלמה בדרום תל-אביב, בסמיכות לעיר יפו.
זיכרון טראומטי של עובדיה מימי ילדותו היא בריחת משפחתו מביתה בעקבות פרעות הערבים בתרצ"ו. המשפחה מצאה אז מקלט בבית הכנסת ה"ספרדי" הגדול שברחוב שד"ל בתל-אביב. עובדיה היה ילד, אך כבר אז החליט להיות בין הלוחמים לשחרור לאומי.
בהיותו כבן 13 הצטרף עובדיה ל"מועדון הדרום" של בית"ר בשכונת פלורנטין בתל-אביב. בין מפקדיו היה מנחם ידיד, לימים חבר כנסת.
בגיל 15 התגייס לאצ"ל, ועבר אימוני קרבות פנים אל פנים ושימוש בנשק חי .
הוא הדביק כרוזים והעביר נשק ממקום למקום. אחר כך נטל חלק כמאבטח ובין השאר בהתקפה על בניין הבולשת הבריטית בדרך יפו-תל-אביב, בהתקפה על שדה התעופה בקסטינה ובחפירת המינהרה שהוליכה אל בית הדר בתל-אביב.
עם תחילת ההתפרעות הערבית בעקבות החלטת האו"ם על הקמת מדינה עברית בחלק משטחה של ארץ-ישראל נמנה עם כוחות האצ"ל שהגנו על שכונת התקוה מפני התקפות הערבים, ואחר כך נטל חלק בשחרור יפו ובקרבות רמלה, אשדוד ויבנה.
עובדיה נמנה עם אנשי האצ"ל שעלו לאונייה "אלטלנה" בחוף כפר ויתקין והפליגו איתה לתל-אביב.
ביולי 1948 גוייס עובדיה לצה"ל ושירת כלוחם קרבי בסיירת חטיבת "גולני".
במהלך קרבות מלחמת העצמאות נפצע בגליל, ואחר כך שוב באזור עיראק-סואידן.
שירת במילואים ביחידות קרביות וזכה לאותות הקוממיות, אות סיני ואות מלחמת יום הכיפורים.
לאחר מלחמת העצמאות נתקבל לעבודה בעיריית ת"א ושימש בתפקידים מגוונים בעירייה ובוועד עובדי העירייה, בהם יו"ר ועד עובדי התברואה, חבר מועצת עובדי עיריית תל-אביב-יפו, יו"ר ועדת הכספים. כן היה חבר ועד תושבי השכונות כפר שלם ונה-צה"ל.
לאה לבית כהן, אשתו הראשונה של עובדיה, נפטרה לפני שנים רבות, וממנה יש לו שני ילדים. אשתו השנייה היא ברכה לבית ישעיהו וממנה יש לו עוד חמישה ילדים. לעובדיה גם 20 נכדים ו-10 נינים.
בספרו "אמונה שלמה", שראה אור בשנת 2007, מתאר עובדיה את תולדותיו, כולל שירותו באצ"ל ובצה"ל.
עובדיה וברכה מתגוררים בתל אביב.